Pregătite de: Petra Podmanická
F, G există focare
A, B sunt principalele vârfuri
C, D sunt vârfuri laterale
| AS | = | BS | = a = ax principal
| CS | = | DS | = b = următoarea jumătate de axă
| FS | = | GS | = e = excentricitatea elipsei
linie dreapta AB este axa principală
linie dreapta CD este o axă minoră
linii FM A GM sunt ghiduri punctuale M [x, y]
este mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan care au o sumă constantă de distanțe față de două puncte fixe date, unde
- considerăm focarele ca două puncte principale (din imagine sunt punctele F, G)
-considerăm ca o sumă constantă de distanțe distanța reciprocă a vârfurilor principale și, astfel, axa principală (din imagine este distanța | AB | = 2 * a)
și astfel putem scrie că ELIPSA este ansamblul tuturor punctelor din planul pentru care relația deține:
| FM | + | GM | = | AB | = 2 * a
conținutul elipsei este direct proporțional cu produsul jumătăților principale și secundare, adică:
Ghid este linia care unește orice punct de pe elipsă cu focalizarea
Excentricitate elipsa (e) reprezintă distanța focală a centrului elipsei. Folosind excentricitatea, exprimăm așa-numitul excentricitatea numerică, care exprimă gradul de aplatizare a elipsei, exprimă gradul de diferență față de cerc
- între excentricitate, axa principală și cea secundară, relația a fost derivată pe baza teoremei pitagoreice (triunghiul FSC):
a 2 = b 2 + e 2
Derivarea ecuației expresiei analitice a unei elipse:
- pornim de la definiția principală a unei elipse:
- pentru | FM | relația se aplică:
- pentru | GM | relația se aplică:
- înlocuim acest lucru în ecuația originală și modificăm:
- Sau în pr în cazul unei elipse centrate pe coordonatele S. [m, n] este următoarea ecuație:
- Și în pr în cazul în care este o elipsă inversată, care are axa principală identică, resp. paralel cu axa y, se aplică relația
Elipsă tangentă
pentru tangenta elipsei T [x T, y T] se aplică următoarele două relații:
Exemplu rezolvat:
Elipsa este exprimată prin ecuația 16x 2 + 25y 2 = 400. Ur citește axele majore și minore, excentricitatea și coordonatele focarelor. Cum va fi plasată elipsa?
Trebuie să exprimăm ecuația elipsei, i. împărțim întreaga ecuație la expresia 400:
- Din această ecuație rezultă că:
1. Axa principală = 2a = 2 * √a 2 = 2 * √25 = 10
2. Axa mică = 2b = 2 * √b 2 = 2 * √16 = 8
Calculăm excentricitatea în funcție de relația: e 2 = a 2 - b 2:
e = √ (5 2 - 4 2) = (25-16) 1/2 = 3
Accentul are coordonatele:
Și elipsa are o axă majoră identică cu axa x, deoarece numărul de sub (x 2) este mai mare decât numărul din formula de sub (y 2)
Elipsa este exprimată prin ecuația 9x 2 + 25y 2 - 54x - 100y - 44 = 0. Determinați axele majore și minore, excentricitatea și coordonatele centrului elipsei
Trebuie să ajustăm puțin această ecuație. Adăugăm membri x și membri y și vom încerca să le completăm astfel încât să obținem o formulă simplă de tip (x-m) 2, resp. (y-n) 2
(9x 2 -54x) + (25y 2 -100y) = 44
- trebuie să separăm expresiile ridicate la puterea celui de-al doilea și, prin urmare, eliminăm în fața parantezei:
9 * (x 2 -6x) +25 (y 2 -4y) = 44
- acum trebuie să adăugăm (scade) în partea stângă și să adunăm (scădem) un număr din partea dreaptă, astfel încât să obținem formula menționată mai sus. Pentru că se aplică
- adăugând astfel formula, în dreapta trebuie să adăugăm numerele 9 * 9 și 25 * 4.
- Și astfel obținem:
9 * (x 2 -6x + 9) +25 (y 2 -4y + 4) = 44 + 9 * 9 + 4 * 25
9 * (x-3) 2 + 25 * (y-2) 2 = 225 ………/împarte la 225
Din ecuația dată rezultă că:
Axa principală = 2a = 10
Axa mică = 2b = 6
Excentricitate = (5 2 - 3 2) 1/2 = 4
Și centrul elipsei are coordonatele S [3,2]
Nerie exemple:
1. O elipsă este dată de o ecuație 9x 2 + y 2 + 9x - 4y. Ur citește totul ca în exemplul rezolvat.
a = 5/2; b = 4/6; S [-0,5; 2]; elipsa m are o axă majoră paralelă cu axa y
2. Elipsa este dată de ecuație 16x 2 + 4y 2 = 64. Urt citește tot ce îi aparține
A = 4; b = 2; e = 12 1/2 ; F [0; -12 1/2 ]; G [0; 12 1/2 ], elipsă m are o axă majoră identică cu axa y
Referințe:
1. Prezentare generală a matematicii II - V. Burjan, Ľ. Erou, M. Maxian
2. Note proprii
3. Colecție de formule din matematică de la echipa de autori RNDr. Marian Olejar, Mons. Iveta Olejarova, Martin Olejar, Marian Olejar, Jr.