Pregătit de: Ing. Renáta Dvončová
În primul rând, să definim ce este un cerc.
În construcțiile geometrice care utilizează o riglă și o busolă pe lângă o linie dreaptă, un cerc are cea mai mare semnificație, care poate fi definită după cum urmează:
Cerc este ansamblul tuturor punctelor planului care au din acel punct CU tejtoroviny (centrul cercului) aceeași distanță (Fig.1). O linie al cărei punct este centrul cercului S și celălalt punct arbitrar al cercului se numește raza cercului - indicăm litere mici r.
Orice linie ale cărei puncte finale sunt două puncte diferite ale unui cerc se numește coarda cercului. Şir, care trece prin centrul cercului se numește diametrul cercului și denotați-l cu litere mici d și reține: 2r = d.
Următoarea formulă se aplică lungimii unui cerc cu raza r:
Unde r este raza cercului
- Numărul lui Ludolph, a cărui valoare este de aproximativ 3.141 59
Ansamblul tuturor punctelor dintr-un plan, pentru distanța lor în din centrul cercului dat al plotterului r se aplică la:
în r numim cercul exterior
Ecuația cercului:
Pentru expresia analitică a unui cerc, putem obține următoarele propoziții:
V.1. Un cerc cu centrul la originea sistemului de coordonate (S = O) și cu raza r are o ecuație numită prin ecuația centrală a cercului:
V.2. Un cerc cu centrul S (m, n) și raza r are ecuația în forma:
(x - m) 2 + (y - m) 2 = r 2
De asemenea, numim această formă a ecuației cercului forma centrală a ecuației unui cerc.
a) Ecuația fiecărui cerc poate fi exprimată în formă generală:
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
b) Teorema inversată nu se aplică, deoarece fiecare ecuație a acestei forme nu trebuie să fie o ecuație a unui cerc. Poate fi doar dacă ecuația poate fi convertită la forma dată în propoziția 2.
Stare: A 2 + B 2> 4C
Scrieți ecuația unui cerc care are un centru la originea sistemului de coordonate și trece prin punctul M
Din moment ce M ≠ 0, cercul căutat există și ecuația sa are forma x 2 + y 2 = r 2 .
Punctul M se află pe el, deci coordonatele sale x = 2, y = - 3 satisfac ecuația, deci urmează următoarele:
Ecuația de cerc pe care o căutați va avea forma:
Soluţie:
Deoarece A S, cercul pe care îl căutați există de fapt.
Înlocuiți în forma centrală coordonatele centrului: m = - 4; n = 5, atunci obținem această ecuație:
(x + 4) 2 + (y - 5) 2 = r 2 Semnul + este pentru că
Trebuie să-i determinăm raza = r. Punctul A se află pe acest cerc, prin urmare coordonatele sale x = 6;
y = 1 satisfac ecuația, i. se aplică la:
(6 + 4) 2 + (1 - 5) 2 = r 2
reglați: 10 2 + (- 4) 2 = r 2
116 = r 2 r =
Ecuația unui cerc îndeplinește condițiile problemei noastre, astfel încât să o putem prezenta în forma de mijloc după cum urmează:
(x + 4) 2 + (y - 5) 2 = 116
putem converti această ecuație într-o formă generală folosind formulele:
(a + b) 2 = a 2 + 2.a.b + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2.a.b + b 2
x 2 + y 2 + 8x - 10y - 75 = 0
Dovediți că ecuația x 2 + y 2 + 6x - 8y + 21 = 0 este ecuația
cerc, determinați raza și centrul acesteia:
Dacă există un cerc k (S, r) pe care îl avem, atunci are ecuația:
(x - m) 2 + (y - m) 2 = r 2
ajungem la această ecuație modificând ecuația dată într-o formă generală după cum urmează:
x 2 + 6x + y 2 - 8y = - 21
membrii cu x și y necunoscuți sunt adăugați în pătrat, în același timp
adăugăm și valorile la cealaltă parte a ecuației:
x 2 + 6x + 9 + y 2 - 8y + 16 = - 21+ 9 +16
adaptați-vă la formula:
(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 4
Din ecuația centrală obținută a cercului determinăm acum centrul cercului a
m = - 3; n = 4; S (-3,4); r = = 2
Scrieți ecuația cercului care trece prin puncte:
Dacă există un cerc de căutare, atunci are ecuația:
x 2 + y 2 + Mx + Ny + L = 0
Presupunem că punctul A se află pe un cerc, deci înlocuim coordonatele x, y în ecuație.
Același lucru se aplică punctelor B și C. Obținem următoarele ecuații:
Înlocuim coordonatele punctului A:
7 2 + 3 2 + M.7 + N.3 + L = 0
49 + 9 + 7M + 3N + L = 0
58 + 7M + 3N + L = 0
Înlocuim coordonatele punctului B:
(- 2) 2 + 6 2 - 2M + 6N + L = 0
40 - 2M + 6N + L = 0
Înlocuim coordonatele punctului C:
5 2 + (- 1) 2 + 5.M - 1.N + L = 0
26 + 5M - N + L = 0
Scriem ecuațiile rezultate unul sub celălalt și obținem un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:
58 + 7M + 3N + L = 0
40 - 2M + 6N + L = 0
26 + 5M - N + L = 0
Soluția acestui sistem de ecuații ne oferă următoarele: M = - 4; N = - 6; L = - 12
Cele trei puncte date determină un cerc despre această ecuație:
x 2 + y 2 - 4x - 6y - 12 = 0
după ajustarea la forma centrală:
(x - 2) 2 + (y - 3) 2 = 25
1./Scrieți ecuația unui cerc care are un centru în punctul S (-2,4) și trece prin punctul A (1,5)
2./Determinați centrul și raza cercului date de ecuația: x 2 + y 2 - 10x + 10y - 20 = 0
3./Scrieți ecuația cercului care trece prin puncte:
Referințe: Prezentare generală a matematicii liceului