Misiune
Testul este, după cum știm cu toții, un mare entuziast cosmic. Are un binoclu grozav acasă, în spatele căruia își petrece o parte semnificativă din timpul liber. Îl va vedea până la o galaxie îndepărtată, unde a văzut data trecută o curioasă stea binară. A fost format din două stele la fel de masive. Kvik a decis să afle cu ce viteză centrul comun de greutate al binarului se îndepărta de Pământ. În acest scop, el a măsurat frecvența unei linii spectrale din spectrul unei stele binare. Când atât stelele, cât și Pământul erau pe aceeași linie, el a măsurat frecvența \ (f_0 \). Când linia stelelor era perpendiculară pe direcția Pământului, Kvik a observat o pereche de linii spectrale cu frecvențe \ (f _ + \) și \ (f _- \). Acum trebuie doar să o adune. Ajută-l cu calcule.
Primul lucru pe care trebuie să-l realizăm este de ce Kvík observă frecvențe diferite ale aceleiași linii spectrale în diferite poziții ale stelelor. După un moment de gândire, ajungem la concluzia că singura explicație rezonabilă este efectul Doppler în legătură cu mișcarea stelelor. Ei orbitează centrul comun de greutate la o viteză \ (v \), care, în plus, se îndepărtează de Pământ cu o viteză \ (u \). Astfel, atunci când ambele stele și Pământul sunt pe aceeași linie, ambele stele se îndepărtează de Pământ cu o viteză de \ (u \). Când linia stelelor este perpendiculară pe direcția Pământului, atunci una dintre stele se mișcă față de Pământ cu o viteză \ (u + v \) și cealaltă cu o viteză \ (u-v \). Acesta este motivul pentru care Kvík observă o pereche de linii spectrale.
Când găsim cauza diferențelor de frecvență ale aceleiași linii spectrale, poate părea că am câștigat deja. Tot ce trebuie să faceți este să o aruncați în ecuații și să explodați viteza \ (u \) din ele. Sau nu? Reamintim că schimbarea frecvenței în efectul Doppler este descrisă de ecuația \ [f '= f \, \ frac >> \ text \ qquad (1) \]
unde \ (c \) este viteza undelor, \ (w_ \) este viteza observatorului (receptorului) și \ (w_ \) este viteza sursei. Selectăm semnele în funcție de direcția în care se mișcă observatorul și sursa. Toate cele patru combinații sunt permise.
În cazul nostru, \ (c \) este viteza luminii. Dar care sunt viteza noastră \ (w_ \) și \ (w_ \)? La prima vedere, este clar că rezultatul depinde de alegerea cadrului de referință. Întrebarea este cum alegem sistemul de referință. Pentru a răspunde la acest lucru, să luăm în considerare un exemplu mai ilustrativ - două mașini care se deplasează una față de cealaltă. Apoi avem o gamă de sisteme de referință conectate cu mașini individuale, cu bunica în picioare la stație sau cu Jožek alergând spre autobuz, dar și orice alt sistem de referință.
Unora li se poate întâmpla să alegem sistemul de referință în funcție de frecvența care ne interesează, adică dacă suntem interesați de frecvența pe care o aude bunică, descriem situația din sistemul bunicii. Dar atunci ce face viteza \ (w_r \) în relația 1, când ar trebui să fie întotdeauna zero? Viteza respectivă nu va exista doar, deci este posibil ca această alegere să nu fie cea potrivită.
De fapt, alegem un sistem de referință asociat cu mediul în care se propagă undele. În cazul sunetului, mediul este aer. Și ce zici de lumină? Teoria relativității spune că lumina se răspândește în mod egal în toate sistemele de referință, deci în cazul luminii rezultatul nu poate depinde de alegerea cadrului de referință. Cu toate acestea, acest lucru este contrar ecuației 1, deci nu poate descrie efectul Doppler pentru lumină.
Ecuația 1 este derivată din transformările Galileo care sunt nerelativiste. Dacă am folosi transformări relativiste Lorentz, am obține o relație diferită \ [f '= f \ sqrt> \ text \ qquad (2) \]
Nu o vom deduce aici, deoarece cititorul îl poate găsi cu ușurință în literatura de specialitate disponibilă sau pe web. Să observăm doar că numeratorul și numitorul au aceeași viteză \ (w \), care este viteza reciprocă a sursei și a observatorului, astfel încât rezultatul nu depinde de alegerea sistemului de referință. În acest caz, sunt permise doar două combinații de semne - selectăm întotdeauna semne diferite, iar alegerea lor depinde de dacă obiectele se îndepărtează sau se apropie unul de altul.
Avem cea mai interesantă parte a sarcinii în spatele nostru. Acum putem începe să numărăm. Fie frecvența reală a liniei spectrale să fie \ (f \). Pentru frecvențele observate, atunci [[\ begin f _ + ^> & = f ^> \ frac \ text \\ f _- ^> & = f ^> \ frac \ text \\ f_0 ^> & = f ^> \ frac \ text \ end \ qquad (3) \]
Excludeți din sistemul de ecuații frecvența reală a liniei spectrale \ (f \) împărțind primele două ecuații în 3 la a treia. După câteva ajustări simple, terminăm formularul \ [\ begin f _ + ^> \ left (u ^ 2 + uv-cv-c ^ 2 \ right) & = f_0 ^> \ left (u ^ + uv + cv -c ^ \ right) \ text \\ f _- ^> \ left (u ^ 2-uv + cv-c ^ 2 \ right) & = f_0 ^> \ left (u ^ -uv-cv-c ^ \ dreapta) \ text \ end \ qquad (4) \]
Vedem că ambele ecuații sunt liniare în \ (v \) și pătratice în \ (u \). Ne interesează viteza unui binar \ (u \), deci din ambele ecuații exprimăm viteza orbitală a stelelor \ (v \): \ [v = \ frac ^> - f _ ^> \ right)> ^> \ left (uc \ right) -f _ ^> \ left (u + c \ right)> \ text \\ \ qquad (5) \]
Suntem foarte mulțumiți că același factor \ (\ left (u ^ -c ^ \ right) \) apare în ambele ecuații, deoarece atunci când împărțim ecuațiile, acest factor va cădea din ele, reducând efectiv gradul ecuației de la cub la liniar. Ajustările treptate conduc la rezultatul final \ [u = \ frac ^> f _ ^> - f _ ^ >> ^> - f _ ^> \ right) \ left (f _ ^> - f _ ^> \ right) > c \ text \ qquad (7) \]
S-ar putea crede că viteza reciprocă a stelelor și a Pământului este foarte mică în comparație cu viteza luminii, deci ar trebui să fie posibil să se liniarizeze relația 2. Să-i aplicăm expansiunea Taylor \ [f '= f \ sqrt> = f \ sqrt >>> = f \ left (1- \ frac + \ frac \ left (\ frac \ right) ^ + \ bar> \ left (\ left (\ frac \ right) ^ \ right) \ right) \ text \]
Să luăm în considerare mai întâi dezvoltarea doar la prima ordine. În acest caz, obținem un set de ecuații \ [\ begin f_ & = f \ left (1- \ frac \ right) \ text \\ f_ & = f \ left (1- \ frac \ right) \ text \\ f_ & = f \ left (1- \ frac\ right) \ text \ end \]
Vedem imediat că acest sistem este echivalent cu utilizarea Dopplerului clasic în sursa de referință a sursei de undă. Cu toate acestea, atunci când începem să o rezolvăm, ne confruntăm cu o problemă, deoarece toate vitezele cad din ea și obținem condiția doar pentru frecvențe \ [f _ = \ frac + f _> \ text \]
care afirmă că în aproximarea de ordinul întâi frecvența \ (f_ \) trebuie să fie media aritmetică a celor două rămase.
Pentru a obține un rezultat, trebuie să luăm în considerare extinderea lui Taylor până la a doua ordine: \ [\ begin f_ & = f \ left (1- \ frac + \ frac >> \ right) \ text \\ f_ & = f \ left (1- \ frac + \ frac >> \ right) \ text \\ f_ & = f \ left (1- \ frac+\ frac >> \ right) \ text \ end \]
Din nou, excludem frecvența \ (f \) din ecuații împărțind ecuațiile între ele: \ [\ begin \ frac >> & = \ frac-2uc-2vc + u ^ + v ^ + 2uv> -2uc + u ^> \ text \\ \ frac >> & = \ frac-2uc + 2vc + u ^ + v ^ -2uv> -2uc + u ^> \ text \ end \]
De data aceasta am obținut un sistem puțin mai complicat, deoarece ambele ecuații sunt pătratice în \ (u \) și în \ (v \). Cu toate acestea, nimic nu ne sperie atât de ușor. Le privim cu ochii noștri profesioniști și vedem imediat că atunci când le adăugăm și le scădem unele de altele, ele simplifică un pic: \ [\ begin \ frac + f _ >> & = \ frac-4uc + 2u ^ + 2v ^ > - 2uc + u ^> \ text \\ \ frac-f _ >> & = \ frac-2uc + u ^> \ text \ end \]
Din aceste ecuații, nu mai este o problemă să exprimăm viteza orbitală \ (v \) într-o formă relativ simplă: \ [\ begin \ left | v \ right | & = \ sqrt + f _ >> - 1 \ right) \ left (2c ^ -2uc + u ^ \ right)> \ text \\ v & = \ frac-f_ \ right) \ left (2c ^ -2uc + u ^ \ right)> \ left (uc \ right)> \ text \ end \]
Pentru a scăpa de valoarea absolută și de rădăcina pătrată, să echivalăm pătratele vitezei orbitale. Lucrăm pentru o ecuație care este pătratică în \ (u \) și nu conține viteza \ (v \), deci nu mai avem nici cea mai mică problemă în găsirea unei soluții: \ [\ begin u ^ -2cu + \ frac \ left (f_ + f_-2f_ \ right) -2 \ left (f_-f_ \ right) ^> \ left (f_ + f_-2f_ \ right) - \ left (f_-f_ \ right) ^> c ^ = 0 \ text \\ u = c \ left (1 \ pm \ sqrt \ left (f_ + f_-2f_ \ right) -2 \ left (f_-f_ \ right) ^> \ left (f_ + f_-2f_ \ right) - \ left (f_-f_ \ right) ^ >> \ right) \ text \ end \]
Soluția fizică este cu un semn minus, deoarece \ (\ left | u \ right | \ overset< . Pozorný čitateľ by mohol namietať, že náš výsledok nemôže byť správny, pretože narábame s relativistickým Dopplerovým javom a pritom sme použili klasický vzťah na skladanie rýchlostí. A má v podstate pravdu. V skutočnosti by sme mali uvažovať relativisticky získané rýchlosti vzďaľovania jednotlivých hviezd \[ w_=\frac>> \ text \] Cu toate acestea, deoarece vitezele \ (u \) și \ (v \) sunt mici în comparație cu viteza luminii, s-ar părea că ne putem permite să folosim și viteze compuse clasic. Cu toate acestea, să analizăm rezultatul pe care l-am fi obținut dacă am fi folosit totuși o relație relativistă pentru a compune viteze, deoarece acest lucru este cu adevărat interesant. Vom urma exact aceeași procedură ca în primul caz. Pornim de la sistemul de ecuații \ [\ begin f _ ^> & = f ^> \ frac >>>>>> \ text \\ f _ ^> & = f ^> \ frac >>>>>> \ text \\ f_ ^> & = f ^> \ frac \ text \ end \]
Când punem aceste expresii în ecuație, ajungem la o ecuație care nu conține nicio viteză \ [\ frac ^> - f _ ^ >> ^> + f _ ^ >> + \ frac ^> - f _ ^ >> ^> + f _ ^ >> = 0 \ text \] care poate fi simplificat în continuare în \ [f _ = \ sqrtf _> \ text \] astfel încât frecvența \ (f_ \) ar trebui să fie media geometrică a celor două rămase . Ce înseamnă? Dacă nu neglijăm, atunci în principiu nu este posibil să se determine viteza distanței binare. Cu toate acestea, după o reflecție mai profundă, nu suntem foarte surprinși. Avem un val de oarecare frecvență și ne interesează modul în care această frecvență se modifică datorită efectului Doppler. Modificarea frecvenței este dată fără echivoc de ratele \ (u \) și \ (v \). Astfel, dacă cunoaștem frecvențele aparente în două cazuri, putem calcula frecvența în al treilea caz folosind ultima relație derivată. Aceasta înseamnă că cele trei ecuații de la care am plecat nu au fost independente și, prin urmare, nu este posibil să calculăm trei necunoscute din acesta, deoarece avem efectiv doar două ecuații. Înseamnă asta că Doppler nu ne poate spune nimic despre viteza distanței unui binar? Nu dacă nu cunoaștem frecvența reală a liniei spectrale observate. Dar, deoarece frecvențele liniilor spectrale sunt cunoscute, în practică trebuie doar să identificăm linia spectrală dată și să folosim cele două frecvențe aparente pentru a calcula distanța stelei binare.
Notă de la cercetător
Onoarea și gloria îi aparțin lui Iona, care a fost singurul care a arătat prin calcule relativiste oneste că nu este posibil să se determine viteza distanței unei stele binare față de frecvențele observate. El a folosit un truc inteligent, deoarece a considerat un obiect auxiliar care se deplasa împreună cu centrul de greutate al binarului, dar apoi a adăugat o dublă deplasare Doppler. Prima schimbare a luat în considerare viteza orbitală a stelelor și a doua viteza de mișcare a centrului de greutate al binarului de pe Pământ. Acest calcul a condus la relația dintre frecvențele observate \ [f _ = \ fracf _> + f _> \ text \]
care este diferit de cel pe care l-am obținut. Problema este că, în cazul frecvenței observate \ (f_0 \), am presupus că distanța distanței stelei este \ (u \), ceea ce nu este adevărat. De fapt, trebuie să compunem relativistic vitezele perpendiculare \ (u \) și \ (v \) și să folosim viteza astfel obținută în raport cu Dopplerul relativist.
Discuţie
Aici puteți discuta în mod liber soluția, puteți partaja fragmentele de cod și așa mai departe.
Trebuie să fiți conectat pentru a adăuga comentarii.