când

Când matematica dezvăluie secretele naturii: secvența Fibonacci și raportul auriu

Pentru mulți, matematicianul a fost un obstacol foarte interesant și provocator în calea testului maturității. Cu toate acestea, matematica are un rol de neînlocuit în viața de zi cu zi. Și nu se termină când se numără merele într-o plăcintă. Ne oferă instrumente pentru a explora spațiul. Matematica este astfel un fel de femeie de serviciu - sau, dimpotrivă, regina - a științelor naturii.

Matematica poate fi nu numai utilă, ci și extrem de interesantă. Una dintre cele mai interesante mini-zone ale ei (după părerea mea) este Secvența Fibonacci și numărul secțiunii aurii (Secvența Fibonacci și raportul auriu). Evident, nu sunt singurul interesat, deoarece, potrivit Google, există milioane de link-uri către site-uri care se ocupă de acestea.

El a pus bazele înțelegerii acestui fenomen matematic Leonardo Bonucci (Fibonacci este o abreviere a lui filius Bonacci - fiul lui Bonacci, alternativ Leonardo Pisano, Leonardo da Pisa) în cartea „Liber Abacci”. El a explicat-o pe exemplul reproducerii iepurilor. El s-a întrebat câți iepuri ar fi pe câmp după un an dacă eliberează o pereche la început, urmând a fi îndeplinite următoarele condiții: niciun iepure nu va muri, iepurii vor atinge maturitatea sexuală după o lună și o pereche de iepuri ar fi născut la fiecare naștere.

Primele câteva luni vor arăta astfel (numerele din coloana din stânga indică lunile, numerele din dreapta numărul de perechi de iepuri):

Din reproducerea iepurilor a derivat o secvență cunoscută astăzi sub numele de secvență numerică Fibonacci. Este de fapt o secvență de numere, în care următorul număr este suma celor două anterioare și arată astfel:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597.

La prima vedere, aceasta este o secvență obișnuită de numere, o simplă adunare. Ei bine, putem deduce lucruri interesante din aceasta.
Începem să determinăm raportul a două numere adiacente, raportul dintre venirea și cea precedentă:

Trebuie să fi observat că raporturile rezultate oscilează în jurul numărului 1.61803. Este un număr cu dezvoltare zecimală infinită și a fost folosit pentru prima oară de Euclid, deoarece a fost foarte important în geometria pentagramei și pentagonelor regulate. În prezent este denumit ϕ, numărul secțiunii aurii, sau în cazul creaționiștilor proporție divină (raportul auriu/proporția divină). Acest număr este definit geometric ca un raport de lungimi:

Folosind operații matematice „miraculoase”, obținem o notație algebrică:

ϕ = (1 + √5)/2 = 1.6180339887.

Să lăsăm matematica acum și să privim numerele Fibonacci din natură. În timpul evoluției, toate organismele vii se străduiesc să-și optimizeze creșterea și să utilizeze eficient resursele. Secvența Fibonacci și numărul raportului de aur s-au dovedit a fi una dintre posibilități.
Să ne uităm la plante și la distribuția frunzelor pe tulpină.

Multe plante plantează frunze pe tulpină într-o spirală, astfel încât fiecare frunză suplimentară crește compensată cu un anumit unghi față de cea anterioară. Dacă am calcula atunci câte foi din ordine vor fi exact peste prima și vom pune rezultatul proporțional cu numărul de rotații ale spiralei create de frunze, am obține așa-numita numărul filotaxei, de ex. 1/3, 2/5, 3/8 - toate numerele secvenței Fibonacci. Modelarea matematică a arătat că printr-o astfel de desfășurare a frunzelor plantelor optimizează cantitatea de lumină solară și cantitatea de apă care ajunge la fiecare frunză.

Petalele (petalele) din flori sunt utilizate în mod similar. Numărul petalelor din marea majoritate a plantelor este egal cu unul dintre numerele Fibonacci. De exemplu, o astfel de margaretă poate avea 13, 21, 34 sau 55 de petale.

Numerele Fibonacci pot fi găsite și în alte părți ale plantei care trebuie optimizate. Dacă ne-am uita la conuri de conifere, ananas sau semințe din floarea-soarelui, am descoperi că acestea sunt aranjate în spirale. În acest caz, este vorba despre optimizarea cantității de semințe pe o anumită zonă fără spațiu neutilizat sau suprapuneri inutile. Conurile și semințele de floarea soarelui formează două tipuri de spirale - în sensul acelor de ceasornic și în sens invers acelor de ceasornic. Ananasul adaugă încă unul.

Ce numere obținem dacă numărăm numărul de spirale? Din nou, acestea vor fi numere Fibonacci. Semințe de floarea-soarelui - 34 în direcție și 55 în direcție, conuri 8/13 și ananas 5/8/13. Și, după cum puteți număra corect, raportul numărului de spirale reprezintă numărul raportului de aur. Spirale similare pot fi găsite în alte flori sau legume (de exemplu, râu) sau într-unul dintre cele mai frumoase exemple de succesiune Fibonacci din natură, care este romanesco - o încrucișare între conopidă și broccoli, conopidă (mai jos). Romanesco arată structura fractală a secvenței Fibonacci - dar de data aceasta nu voi folosi fractali.

Nu în ultimul rând, numerele Fibonacci apar în timpul ramificării optime a tulpinilor de plante, a copacilor, dar și a bronhiilor și a traheei. Și ne întoarcem la iepurii Fibonacci de la început. Pedigreeul iepurelui are aceeași formă ca tulpinile plantei sau bronhiile și bronhiile:

Numerele Fibonacci și raportul auriu au fost, de asemenea, descrise pe corpul uman - acestea sunt proporții diferite pe față, proporțiile oaselor pe mâini, picioare și în alte părți. Cu toate acestea, ar trebui să privim aceste exemple cu un ochi critic și să distingem așa-numitele „potrivite” de cele reale. Un exemplu de succesiune Fibonacci pe care personal îl găsesc real este raportul articulațiilor degetelor de pe o mână umană. Nu numai că lungimile articolelor individuale sunt proporționale cu numărul raportului aur. În plus, când ne îndoim degetele și le strângem pumnii, spațiul este umplut în mod optim.

Să ne întoarcem la cifre și geometrie pentru o clipă. O altă operație matematică interesantă care poate fi aplicată secvenței Fibonacci este exponențierea și adăugarea ulterioară.

Secvența originală Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 34.
Și pătrate de numere: 1 1 4 9 25 64 169 441.

Să calculăm acum pătratele primelor 8 numere de ordine:
1 2 +1 2 +2 2 +3 2 +5 2 +8 2 +13 2 +21 2 = 714

Și ce se întâmplă dacă înmulțesc numărul 21 cu numărul 34?
21x34 = 714

Dacă înlocuiesc acum numerele Fibonacci cu pătrate care le reprezintă pătratele și le împachetez treptat, ajung la figura (L), unde conținutul dreptunghiului format din aceste pătrate poate fi fie suma conținutului lor, fie un multiplu al laturilor sale (21x (21 + 13)) = 714. Acest dreptunghi este un exemplu al așa-numitului. dreptunghi auriu (dreptunghi auriu). Rețineți că laturile unui dreptunghi pot fi împărțite pe baza pătratelor cu lungimea laterală egală cu numerele Fibonacci, iar raporturile rezultate vor fi apropiate de ϕ. Dacă atunci descriem un cerc cu un centru într-un colț și raza numărului Fibonacci dat pentru fiecare dintre pătratele Fibonacci date, obținem o spirală și da, ai ghicit corect, spirala aurie (spirala aurie):) - un caz special al unei spirale logaritmice.

Deoarece această spirală aurie este derivată din numerele Fibonacci, este de înțeles că va avea diferite proprietăți interesante. Matematicianul Jacques Bernoulli (unchiul lui Danielle Bernoulli, datorită căruia zboară avioanele) a remarcat-o și a numit-o Spira Mirabilis. Deși spirala crește, forma sa rămâne aceeași. Raza sa crește exponențial și crește de ϕ ori la fiecare sfert de tură, adică. 90 °, ceea ce este evident și din figura de mai sus.

Fiecare sfert de tur al spiralei este format dintr-un pătrat cu o latură egală cu numărul Fibonacci (21). Aceasta este de aproximativ ϕ ori mai mare decât numărul (13), care este egal cu latura pătratului anterior (13 x ϕ = 21). Forma acestei spirale este, de asemenea, răspândită în natură. Acestea sunt spiralele menționate mai sus de semințe de floarea-soarelui, conuri de carbonați sau o mână încleștată într-un pumn, care seamănă cu o spirală aurie (dat fiind faptul că lungimea articulațiilor degetelor este proporțională cu secvența Fibonacci, acest lucru nu este surprinzător ).

Unul dintre cele mai elegante și ilustrative exemple ale acestei spirale în natură este cochilia moluștei - barca (Nautilus). Adevărat, măsurători mai exacte arată rapoarte de 1,24-143, cu o medie de 1,33, care nu se potrivește ϕ (1.618).

Forma acestei spirale aurii este baza altor formațiuni uriașe până la gigantice, cum ar fi uraganele sau chiar un singur tip de galaxie.

Secvența Fibonacci este un exemplu al faptului că matematica poate fi un fel de limbaj universal prin care natura dezvăluie legile și principiile pe care operează. Pe de altă parte, ne arată că în timpul evoluției, sistemele biologice, sub influența selecției naturale, au evoluat în general către cele mai mici costuri posibile, cu randamente mai mari.

Nu în ultimul rând, chiar și atunci când se aplică secvența Fibonacci și numărul secțiunii aurii la sisteme biologice și la alte sisteme, este important să se mențină o viziune critică (ed. Notă: de exemplu afirmația că raportul auriu este adesea utilizat în artă și arhitectură sau că conține obiecte, fotografii, picturi etc. pentru om mai estetic este un mit). Este o proprietate umană naturală să căutăm modele și conexiuni, așa că se întâmplă să identificăm conexiuni acolo unde nu există, cum ar fi în confuzia succesiunii temporale cu relația cauzală în vaccinare și autism.

Addendum al autorului și al editorilor: După cum am văzut în exemplul cutiei pentru bărci, multe exemple populare ale raportului auriu nu sunt manifestările sale exacte. Nu ar trebui să le înțelegem ca manifestări perfecte ale unui principiu matematic, ci ca abordarea unei anumite formule ca urmare a eforturilor evolutive de optimizare a creșterii. Acest lucru se datorează faptului că procesele de dezvoltare sunt împiedicate să se deplaseze către orice optim geometric precis în organismele vii, care este influențat de un număr imens de factori (prin urmare, chiar și mâinile drepte și stângi nu sunt identice de la naștere).

Acest lucru se aplică și în natura neînsuflețită. Vedem acest lucru în exemplul unei sfere, care reprezintă forma cu cea mai mică energie. Cu toate acestea, obiectele cu o formă sferică perfectă sunt rare în natură. La fel se întâmplă și cu tăietura de aur - galaxiile și uraganele nu sunt manifestările sale perfecte.

În ceea ce privește ce să considerăm ca exemplu al raportului auriu și ce nu, opiniile oamenilor de știință pot diferi în funcție de departamentul științific pe care îl reprezintă. În timp ce reprezentanții unei științe atât de exacte precum matematica par să respingă multe exemple, biologii (precum autorul), conștienți de natura proceselor de dezvoltare și de dezvoltare, le pot accepta cu ușurință.