Ce este adevarul? Cum se distinge o afirmație adevărată de o afirmație falsă? Să uităm acum pentru o clipă aspectele cotidiene ale acestei întrebări și să ne concentrăm asupra adevărului matematic. De pe vremea Greciei antice, matematicienii și logicienii au încercat să afle care afirmații sunt adevărate - și, prin urmare, pot fi considerate o teoremă (teorema) și care nu. Cu toate acestea, numai în ultimele două secole s-au făcut progrese reale, mai ales datorită așa-numitelor logică formală.

acest

Baza logicii formale este un sistem formal. Imaginați-vă că avem un anumit set de simboluri cu care putem scrie o afirmație dată. De exemplu. simbolul + reprezintă operația de adunare, E (sau cuantificatorul existențial) înseamnă „există pentru care deține”, A (sau cuantificatorul universal) înseamnă „pentru toți. Putem folosi și simboluri logice precum & -A, v-sau, numai dacă,

negație și orice număr de variabile care pot fi notate ca x, y, z, resp. x 'y' z ', x' 'y' 'z' 'etc. Din aceste simboluri am asamblat axiome - pietrele de temelie ale sistemului formal. Axiomele sunt adevăruri OBSERVATE care nu mai trebuie dovedite, precum Aa: (a + 0) = a - pentru toate a, e și plus zero sunt egale cu a, sau Aa: (a.0) = 0. În sistemul formal, avem și așa-numitul reguli procedurale - care sunt regulile care ne spun cum să creăm o altă afirmație adevărată dintr-o afirmație adevărată - de ex. dacă afirmația P este adevărată, atunci este negativă și negația sa -

P = P sau dacă afirmațiile r = s și s = t sunt adevărate, atunci afirmația r = t este, de asemenea, adevărată. Aceste reguli sunt, de asemenea, evidente, ele fac pur și simplu parte din lumea în care trăim sau cel puțin percepem. Dincolo de granițele axiomelor, rămâne doar credința în incontestabilitatea lor, adevărul că mintea umană poate merge chiar mai departe și vă puteți îndoi de adevărul lor, în cel mai bun caz veți descoperi o teorie matematică cu totul nouă (acest lucru s-a întâmplat cu geometria euclidiană după negarea axioma paralelogramelor), nuz av horsom În acest caz, veți extinde gama deja largă de matematicieni cu tulburări mintale.

Astfel, cu ajutorul regulilor procedurale, putem obține din axiomele individuale adevăratele resp. propoziții false, pe care le putem combina și după regulile procedurale în propoziții în mod constant noi și noi. Întreaga derivare a teoremei matematice din câteva axiome de bază se numește dovadă. Ar fi cu adevărat foarte plăcut, nu numai pentru matematicieni, dacă s-ar putea crea un sistem formal din care să se deducă nu numai adevărul sau falsitatea oricărei afirmații matematice, dar chiar și în cadrul acestei scheme ar fi posibil să se demonstreze că acest sistem este fără nici o dispută. Matematicianul englez David Hilbert a cerut crearea unui astfel de sistem, au încercat, de exemplu. Russell cu Whitehead în celebra lor lucrare Principia Mathematica. Dar eforturile lor au fost zadarnice, deoarece în 1931 austriacul Kurt Godel, în vârstă de 25 de ani, a zdrobit programul lui Hilbert în praf într-un scurt text intitulat „Despre proprietățile formal indecidabile ale sistemelor formale” și a arătat că adevărul complet va fi întotdeauna dincolo de înțelegerea umană. .

O parte a teoremei lui Godel este complicată și ar fi nevoie de întreaga carte pentru a o explica. În esență, Godel a arătat că toate teoremele matematice pot fi sortate și astfel numerotate și, în consecință, procesul de demonstrare nu este altceva decât o operație aritmetică. Imaginați-vă că am sortat și numerotat toate teoremele matematice cu o variabilă w, atunci fiecăreia dintre aceste teoreme P i se atribuie un număr n (ordinea sa). Avem de fapt o declarație Pn (w) care, dacă este construită sintactic corect, ne spune nirco despre relația dintre numerele n și w. De asemenea, toate dovezile - propozițiile și regulile care conduc la crearea unei propoziții date pot fi numerotate și putem atribui câte un număr n fiecăreia dintre ele, astfel încât Tn denotă o a n-a dovadă specifică conform schemei noastre de sortare (această sortare specială și numerotarea a fost cea mai frecventă parte a propoziției modelului, iar explicația mea este foarte, dar foarte inexactă, dar suficientă pentru a înțelege ideea de bază).

Deci putem compune o propoziție:

Ex [Tx dovedește Pw (w)] - „De asemenea, nu există x, e Tx dovedește Pw (w)”. Această propoziție este o propoziție cu adevărat formulată corect, deoarece, așa cum am scris deja, grație numerotării Godel, operația de demonstrare este o operație aritmetică care poate fi exprimată în orice sistem formal care permite operații aritmetice (de exemplu, teoria numerelor standard și toate sisteme formale mai complexe). Deci, această teoremă ne spune că teorema Pw (w) nu poate fi dovedită. Deoarece am eliminat de fapt x folosind cuantificatorul existențial „nu există”, avem o afirmație despre o variabilă w. Deoarece am sortat și numerotat toate teoremele matematice despre o singură variabilă, putem atribui, de asemenea, numărul k teoremei noastre "Nu există un astfel de x care Tx dovedește Pw (w)", deci de fapt Pk (w) =

Ex [Tx dovedește Pw (w)] .

Și acum vine a doua parte a gândului uimitor al lui Godel. Să examinăm această funcție propozițională pentru o valoare specifică a variabilei w = k. Primim o propoziție

Ex [Tx dovedește Pk (k)] = Pk (k). Afirmația Pk (k) citește „Nu există x astfel încât Tx să demonstreze afirmația Pk (k)”. Această frază are dovezi în cadrul sistemului nostru formal? Negarea ei are dovezi? Răspunsul la ambele întrebări este „nu”. Dacă dovezile date ar exista, sentința ar fi adevărată și ne-ar spune că nu există dovezi, ceea ce ar însemna, totuși, că ne-am expus prost unui sistem formal, deoarece ne permite să dovedim afirmații false. Deci, singura alternativă este că nu există cu adevărat dovezi ale Pk (k). Și exact asta ne spune această propoziție și de aceea este adevărat, așa că am găsit o afirmație adevărată în afara sistemului nostru formal! Și ce negație

Pk (k)? Deoarece Pk (k) este o afirmație adevărată, negația sa, afirmația Pk (k) „Există x astfel încât Tx dovedește că Pk (k)” este falsă! Cu toate acestea, în sistemul nostru formal nu putem dovedi afirmații false și, prin urmare, Pk (k) și negarea acestuia se află în afara sistemului formal. !

Teorema Pk (k) resp. putem substitui negarea acesteia ca o altă axiomă într-un sistem formal extins, dar acest lucru nu va rezolva problema deoarece chiar și în acest sistem formal (cu proprietăți complet diferite, putem ajunge la așa-numitul set supranatural, care este deja o cafea puternică pentru acest articol) ajungem la o afirmație similară Pl (l) printr-o conexiune similară și același lucru ni se întâmplă și în sistemul formal în care am substituit negația Pk (k) ca axiomă. Cu ce ​​a venit Godel de fapt? S-a ajuns la fiecare sistem formal în care pot fi descrise operațiile aritmetice de bază, adică de ex. teoria numerică foarte simplă, este incompletă, există o mulțime de afirmații adevărate care sunt pur și simplu nedemonstrabile !

Teoremele lui Godel sunt una dintre cele mai remarcabile propoziții matematice (sau logice) .Explicând ce a luat întreaga carte fantastică a lui Hofstadter Godel, Escher, Bach într-un articol scurt, astfel încât toată lumea să o poată înțelege, probabil, dar merită încercat. Bucurați-vă de această călătorie metamatică într-o sferă de necunoscut. Principiul de incertitudine al lui Heisenberg, teoria relativității a lui Einstein și teoremele lui Godel asupra proprietăților nederivate ale sistemelor formale sunt cele 3 „descoperiri” științifice care au influențat cel mai mult gândirea și știința secolului XX, scrise în fascinanta sa carte Godel, Escher, Bach, expert despre inteligență artificială și cognitivă vezi Douglas Hofstadter. Cu toate acestea, în timp ce expresii precum „totul este relativ” și „actul observației schimbă rezultatul observației” au devenit de facto parte a vocabularului frazeologic, teorema lui Godel este aproape necunoscută în afara comunității științifice. La prima vedere, acesta este într-adevăr un concept foarte dificil, dar în spatele acestuia se află o idee minunat de simplă, pe care voi încerca să o clarific în acest text.

Ce este adevarul? Cum se distinge o afirmație adevărată de o afirmație falsă? Să uităm acum pentru o clipă aspectele cotidiene ale acestei întrebări și să ne concentrăm asupra adevărului matematic. Încă din vremea Greciei antice, matematicienii și logicienii au încercat să afle ce afirmații sunt adevărate - și, prin urmare, pot fi considerate o teoremă (teorema) și care nu. Cu toate acestea, doar în ultimele două secole s-au făcut progrese reale, mai ales datorită așa-numitelor logică formală.

Baza logicii formale este un sistem formal. Imaginați-vă că avem un anumit set de simboluri cu care putem scrie o afirmație dată. De exemplu. simbolul + reprezintă operația de adăugare, E (sau cuantificatorul existențial) înseamnă „există pentru care deține”, A (sau cuantificatorul universal) înseamnă „pentru toți. Putem folosi și simboluri logice precum & -A, v-sau, numai dacă,

negație și orice număr de variabile care pot fi notate ca x, y, z, resp. x 'y' z ', x' 'y' 'z' 'etc.
Din aceste simboluri am asamblat axiome - pietrele de temelie ale sistemului formal. Axiomele sunt adevăruri OBSERVATE care nu mai trebuie dovedite, precum Aa: (a + 0) = a - pentru toate a, e și plus zero sunt egale cu a, sau Aa: (a.0) = 0. În sistemul formal, avem și așa-numitul reguli procedurale - care sunt regulile care ne spun cum să creăm o altă afirmație adevărată dintr-o afirmație adevărată - de ex. dacă afirmația P este adevărată, atunci este negativă și negația sa -

P = P sau dacă afirmațiile r = s și s = t sunt adevărate, atunci afirmația r = t este, de asemenea, adevărată. Aceste reguli sunt, de asemenea, evidente, ele fac pur și simplu parte din lumea în care trăim sau cel puțin percepem. Dincolo de axiome există doar credință în incontestabilitatea lor, adevărul că mintea umană poate merge chiar mai departe și vă puteți îndoia de veridicitatea lor, în cel mai bun caz veți descoperi o teorie matematică cu totul nouă (acest lucru s-a întâmplat cu geometria euclidiană după negarea axiomei despre paralele), nuz av horsom În acest caz, veți extinde gama deja largă de matematicieni cu tulburări mintale.

Astfel, cu ajutorul regulilor procedurale, putem obține din axiomele individuale adevăratele resp. propoziții false, pe care le putem combina și după regulile procedurale în propoziții în mod constant noi și noi. Întreaga derivare a teoremei matematice din câteva axiome de bază se numește dovadă. Ar fi cu adevărat foarte plăcut, nu numai pentru matematicieni, dacă s-ar putea crea un sistem formal din care să nu se deducă adevărul sau falsitatea oricărei afirmații matematice, dar chiar și în cadrul acestei scheme ar fi posibil să se demonstreze că acest sistem este fără nici o dispută. Matematicianul englez David Hilbert a cerut crearea unui astfel de sistem, au încercat, de exemplu. Russell cu Whitehead în celebra lor lucrare Principia Mathematica. Dar eforturile lor au fost zadarnice, deoarece în 1931 austriacul de 25 de ani Kurt Godel, într-un scurt text intitulat „Despre proprietățile formal indecidabile ale sistemelor formale”, a zdrobit programul lui Hilbert în praf și a arătat că adevărul complet va fi întotdeauna dincolo înțelegerea umană.

O parte a teoremei lui Godel este complicată și ar fi nevoie de întreaga carte pentru a o explica. În esență, Godel a arătat că toate teoremele matematice pot fi sortate și astfel numerotate și, în consecință, procesul de demonstrare nu este altceva decât o operație aritmetică. Imaginați-vă că am sortat și numerotat toate teoremele matematice cu o variabilă w, atunci fiecăreia dintre aceste teoreme P i se atribuie un număr n (ordinea sa). Avem de fapt o declarație Pn (w) care, dacă este construită sintactic corect, ne spune nirco despre relația dintre numerele n și w. De asemenea, toate dovezile - propozițiile și regulile care conduc la crearea unei propoziții date pot fi numerotate și putem atribui câte un număr n fiecăreia dintre ele, astfel încât Tn denotă o a n-a dovadă specifică conform schemei noastre de sortare (această sortare specială și numerotarea a fost cea mai frecventă parte a propoziției modelului, iar explicația mea este foarte, dar foarte inexactă, dar suficientă pentru a înțelege ideea de bază).

Deci putem compune o propoziție:

Ex [Tx dovedește Pw (w)] - „De asemenea, nu există x, e Tx dovedește Pw (w)”. Această propoziție este o propoziție cu adevărat formulată corect, deoarece, așa cum am scris deja, grație numerotării Godel, operația de demonstrare este o operație aritmetică care poate fi exprimată în orice sistem formal care permite operații aritmetice (de exemplu, teoria numerelor standard și toate sisteme formale mai complexe). Deci, această teoremă ne spune că teorema Pw (w) nu poate fi dovedită. Deoarece am eliminat de fapt x folosind cuantificatorul existențial „nu există”, avem o afirmație despre o variabilă w. Deoarece am sortat și numerotat toate teoremele matematice despre o singură variabilă, putem atribui, de asemenea, numărul k teoremei noastre "Nu există un astfel de x care Tx dovedește Pw (w)", deci de fapt Pk (w) =

Ex [Tx dovedește Pw (w)] .

Și acum vine a doua parte a gândului uimitor al lui Godel. Să examinăm această funcție propozițională pentru o valoare specifică a variabilei w = k. Primim o propoziție

Ex [Tx dovedește Pk (k)] = Pk (k) .
Afirmația Pk (k) citește „Nu există x astfel încât Tx să demonstreze afirmația Pk (k)”. Această frază are dovezi în cadrul sistemului nostru formal? Negarea ei are dovezi? Răspunsul la ambele întrebări este „nu”. Dacă dovezile date ar exista, sentința ar fi adevărată și ne-ar spune că nu există dovezi, ceea ce ar însemna, totuși, că ne-am expus prost unui sistem formal, deoarece ne permite să dovedim afirmații false. Deci, singura alternativă este că nu există cu adevărat dovezi ale Pk (k). Și exact asta ne spune această propoziție și de aceea este adevărat, așa că am găsit o afirmație adevărată în afara sistemului nostru formal! Și ce negație

Pk (k)? Deoarece Pk (k) este o afirmație adevărată, negația sa, afirmația Pk (k) „Există x astfel încât Tx dovedește că Pk (k)” este falsă! Cu toate acestea, în sistemul nostru formal nu putem dovedi afirmații false și, prin urmare, Pk (k) și negarea acestuia se află în afara sistemului formal. !

Teorema Pk (k) resp. putem substitui negarea acesteia ca o altă axiomă într-un sistem formal extins, dar acest lucru nu va rezolva problema deoarece chiar și în acest sistem formal (cu proprietăți complet diferite, putem ajunge la așa-numitul set supranatural, care este deja o cafea puternică pentru acest articol) ajungem la o afirmație similară Pl (l) printr-o conexiune similară și același lucru ni se întâmplă și în sistemul formal în care am substituit negația Pk (k) ca axiomă. Cu ce ​​a venit Godel de fapt? S-a ajuns la fiecare sistem formal în care pot fi descrise operațiile aritmetice de bază, adică de ex. teoria numerică foarte simplă, este incompletă, există o mulțime de afirmații adevărate care sunt pur și simplu nedemonstrabile !

Vesti triste? Cu siguranță pentru un formalist matematic convins, dar altfel s-ar putea să nu fie o veste atât de tristă. Simplul fapt că Godel a ajuns la această teoremă spune ceva despre esența conștiinței umane. Dacă creierul uman ar fi doar un sistem determinist care urmează anumiți algoritmi și reguli formale, Godel pur și simplu nu ar fi putut ajunge niciodată la această propoziție. El a ajuns la asta pentru că cineva are capacitatea de a măcina nu numai în cadrul sistemului formal, ci și capacitatea de a merge mai sus, de a merge meta (meta meta, meta meta meta ad infinitum), de a lega și argumenta în afara oricărui sistem formal. Știm, de asemenea, că conceptul de adevăr matematic este mult mai larg decât orice formalism. Ca și cum, în cele din urmă, Platon avea dreptate și exista o lume a ideilor matematice, frumoasă și infinită, pe care o vom vedea întotdeauna doar o umbră plictisitoare.